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docs/CS/DataStructure-Graph.md

@@ -1,5 +1,37 @@
 # 图论 | Graph Theory
 
+
+
+<img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240531210914839.png" alt="image-20240531210914839" style="zoom:50%;" />
+
+## 基本概念和建模
+
+图论是数学的一个分支，主要研究图这种数据结构。图论中的基础概念主要包括：
+
+1. **图（Graph）**：图是由顶点（Vertex）和边（Edge）组成的数据结构，用于表示对象之间的关系。图通常表示为 G = (V, E)，其中 V 是顶点集合，E 是边集合。
+
+2. **顶点（Vertex）**：图中的每个元素称为顶点或节点，表示问题中的一个对象或实体。
+
+3. **边（Edge）**：边表示图中顶点之间的连接关系，可以是有向的（表示方向）或无向的（不表示方向）。
+
+4. **有向图（Directed Graph）**：边具有方向的图称为有向图，也称为网络图。
+
+5. **无向图（Undirected Graph）**：边没有方向的图称为无向图。
+
+6. **权重（Weight）**：图中的边可以具有权重，表示连接两个顶点的成本或距离。
+
+7. **路径（Path）**：图中从一个顶点到另一个顶点的边的序列称为路径。
+
+8. **连通性（Connectivity）**：图中任意两个顶点之间是否存在路径，如果存在，则图是连通的。
+
+9. **环（Cycle）**：图中从一个顶点出发，经过一系列边后又回到该顶点的路径称为环。
+
+10. **子图（Subgraph）**：由原图中部分顶点和连接这些顶点的边组成的图称为子图。
+
+
+
+
+
 ## 表示方法
 
 ### 邻接表和邻接矩阵
@@ -42,12 +74,40 @@
 
 ![最短路算法比较](https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240116141856812.png)
 
-### Floyd
+### Floyd - 多源最短路
 
 常数小，复杂度高
 
+
+
+依次将每个点作为中间点进行更新。
+
+邻接矩阵实现，D数组记录最短路径，Path数据记录终点的前一个点
+
 [图-最短路径-Floyd(弗洛伊德)算法](https://www.bilibili.com/video/BV19k4y1Q7Gj)
 
+### Floyd 算法数学描述
+
+设 G = (V, E) 是一个带权有向图，其中 V 是顶点集合，E 是边集合，w(u, v) 表示从顶点 u 到顶点 v 的权重。Floyd 算法的数学描述如下：
+
+1. 初始化$ D[i][j] = w(i, j)$，如果$ i = j$，则$ D[i][j] = 0$；如果$ (i, j) \in E$，则 $D[i][j] = \infty$。
+2. 对于每个$ k \in V$，执行以下操作：
+   - 对于每个$ i, j \in V$，如果 $D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]$，则更新 $D[i][j] = D[i][k] + D[k][j]$。
+
+```c
+for (k = 0; k < V; k++) {
+    for (i = 0; i < V; i++) {
+        for (j = 0; j < V; j++) {
+            if (graph[i][k] + graph[k][j] < graph[i][j]) {//能松弛就松弛	
+                graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j];
+            }
+        }
+    }
+}
+```
+
+
+
 
 
 ### Dijkstra
@@ -59,9 +119,14 @@
 3. 重复1和2步骤，直到所有点都被标记为已访问的，则`dist[i]`即`s`到`i`的最短距离。如果只想求从s到某一点的最短距离，那么当该点被标记为访问过之后可直接退出。
 4. 补充：如果除了最短距离之外还想求出具体的路径，只需建立一个`pre`数组，在步骤2后添加操作：`pre[v] = u`（前提是`dist[v]`被更新）。
 
+#### 分析
+
+**最多次数：**最多需要更新<顶点-1>次，将未访问过的点更新成为已经访问过的点；
+
+**限制：**所有边的权值非负
 
+#### 复杂度分析
 
-复杂度分析
 $$
 正常情况\quad O(n^2)\\
 堆优化下 \quad O(n\log n)
@@ -182,7 +247,178 @@ void bellman(){
 
 ## 最大流
 
+### 定义与建模
+
+#### **可行流**
+
+每条弧上给定一个实数$f(u,v)$、，满足$0\le f(u,v)\le c(u,v)$
+
+可行流满足：
+
+- 源点S：流出量 = 整个网络的流量
+- 汇点T：流入量 = 整个网络的流量
+- 中间的点：总流入量 = 总流出量，同时$0\le f(u,v)\le c(u,v)$​
+
+> 车队送货问题
+
+![在这里插入图片描述](https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/20200729200407863.png)
+
+#### **最大流**
+
+所有可行流中流量最大的流量
+
+![在这里插入图片描述](https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/20200729200443224.png)
+
+#### 饱和
+
+**饱和边/不饱和边**
+
+**反向饱和/不饱和**
+
+![image-20240531214947009](https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240531214947009.png)
+
+
+
+#### **前向弧\后向弧**
+
+前向弧：与链的方向相同
+
+后向弧：与链的方向相反
+
+
+
+#### **增广链**
+
+设f是一个可行流，$\mu$是从发点到收点的一条链，$\mu$满足以下条件时为增广链:
+
+- 若弧$(v_i,v_j)$是前向弧，则$0\le f_{ij} \le c_{ij}$，即$\mu^+$中每一条弧**都要是非饱和弧**
+
+- 若弧$(v_i,v_j)$是后向弧，则$0\le f_{ij} \le c_{ij}$即$\mu^-$​中每一条弧**都要是非零流弧**
+
+!!! note "可行流成为最大流的充分必要条件"
+	不存在发点到收点的增广链
+
+#### 割集（Cut）
+
+将网络中的点集V分成两个非空集合$V_1$$\bar{V_1}$，使得发点和收点位于两个集合，则弧集$(V_1,\bar{V_1})$是分离发点和收点的割集
+
+> 只要让源和汇不直接相连就可以了，如下图中$(v_1,v_2),(v_3,v_4)$是一个割集
+>
+> <img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240531220934019.png" alt="image-20240531220934019" style="zoom:50%;" />
+
+#### 割量（Cut-set）
+
+对于一个割集 S，割量就是 S 中所有边的容量之和。数学上，割量可以定义为：
+
+$$
+Cutset(S) = \sum_{(u, v) \in S} c(u, v)
+$$
+
+割量可以用于描述网络流的瓶颈，即网络中限制流量通过的最小容量。在最大流问题中，最小割量等于最大流。
+
+最小割集和最小割量
+
+#### 最大流最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）
+
+该定理指出，在任何流网络中，从源点到汇点的最大流等于最小割量。这意味着要找到最大流，可以寻找一个将源点和汇点分开的割集，使得通过该割集的流量最小。
+
+![image-20240531223239298](https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240531223239298.png)
+
+用$流量=容量-空闲$，可以得到阻塞流（blocking flow）
+
+
+
+
+
+### 标号法
+
+**步骤一：**
+
+找出一个可行流（若网络中没有给定初始可行流，可设所有弧的流量 $f_i=0$）。
+
+
+
+**步骤二：标号以寻增广链**
+
+（1）发点标号 $\{0,+\infty\}$。
+
+（2）选一个点 $v$ 已标号且另一端点 $u$ 未标号的弧沿着某条链向收点检查。
+
+①若弧为前向弧，且 $f_{ij}<c_{ij}$，则 $u$ 标号 $\{v_i,\theta_j\}$，$\theta_j = c_{ij}-f_{ij}$。
+
+②若弧为后向弧，且 $f_{ji}>0$，则 $u$ 标号  $\{-v_i,\theta_j\}$，$\theta=f_{ji}$。
+
+（3）重复（2），当收点已得到标号，说明找到一条增广链；依据标号点的第一个标号进行反向追踪得到增广链 $u$；若收点不能得到标号，则不存在增广链，算法结束。
+
+**步骤三：调整流量**
+
+（1）求增广链上所有标号点第二个标号的最小值，得到调整量 $\theta=\min\limits_{i=1}^n \theta_i$。
+
+（2）调整流量：增广链上的前向弧 $f_u=f_u+\theta$；增广链上的后向弧 $f_u=f_u-\theta$。
+
+（3）得到新的可行流后，去掉所有有标号，重复步骤二、三，直到收点不能标号为正。
+
+<img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240531222016854.png" alt="image-20240531222016854" style="zoom:50%;" />
+
+<img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240531222032400.png" alt="image-20240531222032400" style="zoom:50%;" />
+
+<img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240531222736954.png" alt="image-20240531222736954" style="zoom:50%;" />
+
+
+
+### Ford-Fulkerson 算法
+
+> [【运筹优化】网络最大流问题及三种求解算法详解 + Python代码实现_网络最大流问题例题详解-CSDN博客](https://blog.csdn.net/weixin_51545953/article/details/129009589)
+>
+> [【运筹学】-图与网络(三)(网络最大流问题)_哔哩哔哩_bilibili](https://www.bilibili.com/video/BV1ir4y1S7SA/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=8b7a5460b512357b2cf80ce1cefc69f5)
+>
+> [13-2: Ford-Fulkerson Algorithm 寻找网络最大流_哔哩哔哩_bilibili](https://www.bilibili.com/video/BV1Pv41157xh/?spm_id_from=333.788&vd_source=8b7a5460b512357b2cf80ce1cefc69f5)
+
+该方法运用贪心的思想，通过寻找增广路来更新并求解最大流；
+
+!!! note "可以反悔，去掉不好的路"
+$$
+flow = capacity -residual
+$$
+残存网络其实就是用边的剩余容量来表示每条边，如下图所示的残存网络。S->v2这条边上的数字“2”代表这条边剩余可通过容量为2。
+
+<img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/a727673c41ea4c4c9548a8154aa672d6.png" alt="在这里插入图片描述" style="zoom:33%;" />
+
+该算法概况起来，就是在残存网络中不断寻找增广路径，每找到一条增广路径，就递增最大流 $f$，并更新残存网络，直到残存网络中不存在增广路径，则此时$f$即为最终的最大流。
+
+Ford-Fulkerson 算法是通过 DFS（深度优先遍历）的方式在当前残存网络中寻找增广路径的。
+
+根据木桶原理，增广路径的流量等于该路径的边的最小剩余流量。如下图所示的增广路径，它的流量就是3，因为` v4->t` 的容量为3
+
+<img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/b54c07de6761450d9ec4b72005d42d90.png" alt="在这里插入图片描述" style="zoom:33%;" /><img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/84dee643a7a94f1ba93ed4df2dbe9193.png" alt="在这里插入图片描述" style="zoom:33%;" /><img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/0c094f88a2e144cc9075bc3590500ab7.png" alt="在这里插入图片描述" style="zoom:33%;" />
+
+添加反向边是这一算法能够精确求解最大流问题的基础保障
+
+然后重复上述过程，直到找不到增广路径，算法结束
+
+![在这里插入图片描述](https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/7bdff146857146ad8a75a2d0c494c166.png)
+
+#### 分析
+
+**最大循环次数** 等于最大流，因为最坏情况下每轮循环流量只能增加1
+
+**时间复杂度**：最坏时间复杂度：$O(\mathop{flow}\limits_{max}\times m)$，每一轮需要$O(m)$的时间找到路径
+
+
+
+### Edmonds–Karp 算法
+
+### Dinic 算法
+
 ## 最小费用流
 
+最小费用最大流问题：在网络$G = (V, E)$上，对每条边给定一个权值$w(u, v)$，称为费用（cost），含义是单位流量通过$ (u, v)$ 所花费的代价。对于$G$所有可能的最大流，我们称其中总费用最小的一者为最小费用最大流。
+
+### SSP 算法
+
+SSP（Successive Shortest Path）算法是一个贪心的算法。它的思路是每次寻找单位费用最小的增广路进行增广，直到图上不存在增广路为止。
+
+如果图上存在单位费用为负的圈，SSP 算法无法正确求出该网络的最小费用最大流。此时需要先使用消圈算法消去图上的负圈。
+
 ## 工程进度优化
 

docs/CS/DataStructure-Tree.md

@@ -14,6 +14,8 @@
 
 ## 性质
 
+- 无环
+- 加上一条边就有环，去掉一条边就不连通
 - 节点数 = 所有节点的度数+1
 - 度为m的树，第i层至多有$m^{i-1}$个节点
 - 最多节点：（等比数列求和）$\frac{m^h - 1}{m-1}$

docs/CS/OR-DP.md

@@ -15,24 +15,32 @@
 
 ## 基本概念与建模
 
-1. 阶段
-2. 状态
-3. 决策和策略
-4. 状态转移方程
-5. 指标函数
+1. **阶段**：问题过程按时间、空间的特征分解成若干相互联系的阶段。
+2. **状态**：k阶段开始（或结束）时的客观条件，记为$s_k \in S_k$，$S_k$为$k$阶段状态集合
+3. **决策**：依据状态做出的决定，记为$u_k(s_k)\in D_k(s_k)$ , $Dk (sk)$为状态$s_k$的允许决策集合。<img src="https://philfan-pic.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/img/image-20240531194223986.png" alt="image-20240531194223986" style="zoom:67%;" />如$D_1(A) = {B_1,B_2,B_3},u_1(A) = B_i \quad i = 1,2,3$
+4. **状态转移方程：**描述当前状态在给定决策下转移至下一阶段的过程；$s_{k+1}=T_k(s_k, u_k (s_k))$
+5. **指标函数**:评价沿子策略$P_{k,n}$过程性能优劣的函数，记为$V_{k,n}(s_{k}, p_{k,n})$。
+
 
 ## 基本原理与求解
 
+**状态的无后效性：**已经求解的子问题，不会再受到后续决策的影响。
+
+后部子过程策略，从k阶段开始到终了阶段的决策子序列，记为$p_{s,n}(s_k) = \{u_k \left(s_k\right), u_{k+1}\left(s_{k+1}\right),\dots, u_n\left(s_n\right)\} \in P_{k,n} (s_k)$
+
 最优化原理： 最优策略的子策略是对应子问题的最优策略。
 
 最优化定理：策略$p^*_{l,n}$是最优策略的充要条件是，对于所有的k，都有：
 $$
 \begin{array}{l}
-V_{1,n}\left({s_{1}}, p_{1, n}^{*}\right) \\
-\quad=\mathop{opt}\limits_{p_{1, k-1} \in p_{1, k-1}} V_{1, k-1}\left(s_{1}, p_{1, k-1}\right)+\mathop{opt}\limits_{p_{k, n} \in p_{k, n}} V_{k, n}\left(s_{k}, p_{k, n}\right)
+V_{1,n}\left({s_{l}}, p_{1, n}^{*}\right) \\
+\quad=\mathop{opt}\limits_{p_{l, k-1} \in p_{l, k-1}} V_{1, k-1}\left(s_{1}, p_{1, k-1}\right)+\mathop{opt}\limits_{p_{k, n} \in p_{k, n}} V_{k, n}\left(s_{k}, p_{k, n}\right)
 \end{array}
 $$
 
+> 新的最短路节点必定从已知的最短路节点展开
+
+
 
 顺序解法和逆序解法无本质区别
 若初始状态给定时，用逆序解法比较简单。