- permutace
- permutace na množině
$\lbrace1,2,\dots,n\rbrace$ je bijektivní zobrazení$p:\lbrace1,2,\dots,n\rbrace\rightarrow \lbrace1,2,\dots,n\rbrace$
- permutace na množině
- znaménko permutace
- znaménko permutace
$p$ je$\text{sgn}(p)=(-1)^{\text{počet inverzí}\ p}$ - permutace s kladným znaménkem jsou sudé, se záporným liché
- v exponentu může být # inverzí, # transpozic, # sudých cyklů,
$n-$ # cyklů
- znaménko permutace
- determinant
- determinant matice
$A\in\mathbb K^{n\times n}$ je dán výrazem$$\text{det }A=\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{i=1}^na_{i,p(i)}$$
- determinant matice
- adjungovaná matice
-
$A^{ij}$ je podmatice získaná z$A$ odstraněním$i$ -tého řádku a$j$ -tého sloupce - pro
$A\in\mathbb K^{n\times n}:(\text{adj }A)_{ji}=(-1)^{i+j}\cdot\text{det }A^{ij}$ - tzn. faktory Laplaceova rozvoje podél i-tého řádku matice
$A$ ukládáme do i-tého sloupce$\text{adj }A$
-
- Laplaceova matice
- Laplaceova matice grafu
$G$ na$V_G=\lbrace v_1,\dots,v_n\rbrace$ je$L_G\in\mathbb R^{n\times n}$ taková, že $$(L_G)_{ij}= \begin{cases} \text{deg}(v_i) &\text{pro } i=j \ -1 &\text{jestliže }i\neq j\land (v_i,v_j)\in E_G \ 0 &\text{jinak}\end{cases}$$
- Laplaceova matice grafu
- polynom nad tělesem
- polynom stupně
$n$ v proměnné$x$ nad tělesem$\mathbb K$ je výraz$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$ , kde$a_n\neq 0$ a$a_n,\dots,a_0\in\mathbb K$ - píšeme
$p\in\mathbb K(x)$
- polynom stupně
- kořen polynomu a jeho násobnost
- kořen polynomu
$p\in\mathbb K(x)$ je$r\in\mathbb K$ takové, že$p(r)=0$ - násobnost kořene
$r$ z$p\in\mathbb K(x)$ je největší kladné celé číslo$k$ takové, že$(x-r)^k$ dělí$p$
- kořen polynomu
- algebraicky uzavřené těleso
- pokud každý polynom
$p\in\mathbb K(x)$ stupně alespoň jedna má alespoň jeden kořen, pak je těleso$\mathbb K$ algebraicky uzavřené
- pokud každý polynom
- Vandermondova matice
- značí se
$V_{n+1}(x_0,\dots,x_n)$ , přičemž prvky jsou určeny takto:$v_{ij}=x_{i-1}^{j-1}$ - v každém řádku je geometrická posloupnost s kvocientem
$x_i$ (posloupnost začíná jedničkou a končí$x_i^n$ )
- značí se
- vlastní číslo a vlastní vektor lineárního zobrazení
- mějme vektorový prostor
$V$ nad tělesem$\mathbb K$ a lineární zobrazení$f:V\to V$ - vlastní číslo zobrazení
$f$ je jakékoliv$\lambda\in\mathbb K$ , pro které existuje vektor$u\in V\setminus \lbrace 0\rbrace$ takový, že$f(u)=\lambda u$ - vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu
$\lambda$ je libovolný vektor$u\in V$ takový, že$f(u)=\lambda u$ - množina všech vlastních čísel matice je jejím spektrem
- mějme vektorový prostor
- vlastní číslo a vlastní vektor matice
- mějme vektorový prostor
$V$ nad tělesem$\mathbb K$ a matici$A\in\mathbb K^{n\times n}$ - vlastní číslo matice
$A$ je jakékoliv$\lambda\in\mathbb K$ , pro které existuje vektor$x\in V\setminus \lbrace 0\rbrace$ takový, že$Ax=\lambda x$ - vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu
$\lambda$ je libovolný vektor$x\in V$ takový, že$Ax=\lambda x$ - množina všech vlastních čísel matice je jejím spektrem
- mějme vektorový prostor
- charakteristický polynom
- charakteristický polynom matice
$A\in\mathbb K^{n\times n}$ je$p_A(t)=\text{det}(A-tI_n)$
- charakteristický polynom matice
- algebraická násobnost vlastního čísla
- odpovídá násobnosti daného vlastního čísla jako kořene charakteristického polynomu
- geometrická násobnost vlastního čísla
- geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze podprostoru jeho vlastních vektorů
- podobné matice
- matice
$A,B\in\mathbb K^{n\times n}$ jsou si podobné, pokud existuje regulární matice$R$ taková, že$A=R^{-1}BR$
- matice
- diagonalizovatelná matice
- matice podobná diagonální matici je diagonalizovatelná
- Jordanův blok
- Jordanův blok je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále dané vlastní číslo, na diagonále nad ní má jedničky a všude jinde má nuly
- Jordanův normální tvar matice
- matice v Jordanově normálním tvaru má na diagonále Jordanovy bloky (a všude jinde nuly)
- zobecněný vlastní vektor
- zobecněný vlastní vektor matice
$A$ k vlastnímu číslu$\lambda$ je libovolný vektor$x$ splňující$(A-\lambda I)^ix=0$ pro nějaké$i\in\mathbb N$ - lze je řadit do řetězců
$x_k,\dots,x_2,x_1,0$ , kde$(A-\lambda I)x_i=x_{i-1}$
- zobecněný vlastní vektor matice
- hermitovská matice
- hermitovská transpozice komplexní matice
$A\in\mathbb C^{m\times n}$ je matice$A^H\in\mathbb C^{n\times m}$ , kde $(A^H){ij}=\overline{a{ji}}$ - matice
$A$ je hermitovská, pokud$A=A^H$
- hermitovská transpozice komplexní matice
- unitární matice
- matice
$A$ je unitární, pokud$A^{-1}=A^H$ (tedy$A^HA=I_n$ )
- matice
- skalární součin pro vektorové prostory nad komplexními čísly
- skalární součin na vektorovém prostoru
$V$ nad$\mathbb C$ je zobrazení, které přiřadí každé dvojici vektorů$u,v\in V$ skalár$\langle u|v\rangle\in\mathbb C$ tak, že jsou splněny následující axiomy:-
$\forall u\in V:\langle u|u\rangle\in\mathbb R^+_0$ (reálné číslo$\geq 0$ ) $\forall u\in V:\langle u|u\rangle=0\iff u=0$ -
$\forall u,v\in V: \langle v|u\rangle=\overline{\langle u|v\rangle}$ (komplexně sdružené) $\forall u,v,w \in V: \langle u+v|w\rangle=\langle u|w\rangle+\langle v|w\rangle$ $\forall u,v\in V,,\forall \alpha\in\mathbb C: \langle \alpha u|v\rangle=\alpha\langle u|v\rangle$
-
- formálně je každý skalární součin zobrazení
$V\times V\to\mathbb C$ - skalární součin na
$V$ nad$\mathbb R$ je zobrazení$V\times V\to\mathbb R$ , přičemž$\langle v|u\rangle = \langle u|v\rangle$ (ve třetím axiomu),$\alpha\in\mathbb R$ (v posledním axiomu) - standardní skalární součin na
$\mathbb R^n$ :$\langle u|v\rangle=v^Tu$ - standardní skalární součin na
$\mathbb C^n$ :$\langle u|v\rangle=v^Hu$
- skalární součin na vektorovém prostoru
- norma spojená se skalárním součinem
- je-li
$V$ prostor se skalárním součinem, pak norma odvozená ze skalárního součinu je zobrazení$V\to R^+_0$ přiřazující vektoru$u$ jeho normu$||u||=\sqrt{\langle u|u\rangle}$ - geometrická interpretace v euklidovském prostoru
$\mathbb R^n$ -
$||u||$ … délka (velikost)$u$ -
$||u-v||$ … vzdálenost bodů$u,v$ -
$\langle u|v\rangle$ souvisí s „úhlem“$\varphi$ mezi$u,v$ a délkami$u,v$ $\langle u|v\rangle=||u||\cdot||v||\cos\varphi$ - to vyplývá z kosinové věty, kde
$a=||u||,,b=||v||,,c=||u-v||$
-
- je-li
- kolmé vektory
- vektory
$u,v$ z prostoru se skalárním součinem jsou kolmé, pokud$\langle u|v\rangle=0$ - kolmé vektory značíme
$u\perp v$
- vektory
- ortonormální báze
- bázi
$Z=\lbrace v_1,\dots,v_n \rbrace$ prostoru$V$ se skalárním součinem nazveme ortonormální, pokud platí$v_i\perp v_j$ pro každé$i\neq j$ a také$||v_i||=1$ pro každé$v_i\in Z$ - pozorování: matice, jejichž sloupce tvoří vektory ortonormální báze
$\mathbb C^n$ vzhledem ke std. skal. součinu, splňují$A^HA=I_n\implies$ jsou unitární
- bázi
- Fourierovy koeficienty
- nechť
$Z=\lbrace v_1,\dots,v_n\rbrace$ je ortonormální báze prostoru$V$ - tvrzení: pro každé
$u\in V$ platí$u=\langle u|v_1\rangle v_1+\dots+\langle u|v_n\rangle v_n$ -
$\langle u|v_i\rangle$ … Fourierovy koeficienty - důkaz: (vyplývá z toho, že
$\langle v_i|v_j\rangle$ se rovná jedné pro$i=j$ , jinak nule)$$u=\sum^n_{i=1} \alpha_iv_i\implies\langle u|v_j\rangle=\left\langle \sum^n_{i=1} \alpha_iv_i\middle|v_j\right\rangle=\sum^n_{i=1}\alpha_i\langle v_i|v_j\rangle=\alpha_j$$
- nechť
- kolmá projekce
- nechť
$W$ je prostor se skalárním součinem a$V$ je jeho podprostor s ortonormální bází$Z=(v_1,\dots,v_n)$ - zobrazení
$p_Z:W\to V$ definované$p_Z(u)=\sum^n_{i=1}\langle u|v_i \rangle v_i$ je ortogonální (kolmá) projekce$W$ na$V$
- nechť
- izometrie
- lineární zobrazení
$f$ mezi prostory$V$ a$W$ je izometrie, pokud zachovává skalární součin, neboli$\langle u|w\rangle = \langle f(u)|f(w)\rangle$
- lineární zobrazení
- ortogonální doplněk
- ortogonální doplněk podmnožiny
$V$ prostoru se skalárním součinem$W$ je$V^\perp=\lbrace u\in W\mid\forall v\in V: u\perp v\rbrace$
- ortogonální doplněk podmnožiny
- Gramova matice
- nechť
$V$ je prostor se skalárním součinem a bází$X=(v_1,\dots,v_n)$ - Gramova matice
$A$ je definovaná jako$a_{ij}=\langle v_i|v_j\rangle$ - dle věty platí
$\forall u,w\in V:\langle u|w\rangle=[w]_X^HA^T[u]_X$
- nechť
- pozitivně definitní matice
- pokud hermitovská matice
$A$ řádu$n$ vyhovuje$\forall x\in\mathbb C^n\setminus \lbrace 0\rbrace: x^HAx\gt 0$ , pak je pozitivně definitní
- pokud hermitovská matice
- Choleského rozklad
- věta: pro každou pozitivně definitní matici
$A$ existuje unikátní horní trojúhelníková matice$U$ s kladnou diagonálou taková, že$A=U^HU$ - matice
$U$ se nazývá Choleského rozklad
- věta: pro každou pozitivně definitní matici
- bilineární forma
- nechť
$V$ je vektorový prostor nad tělesem$\mathbb K$ a nechť zobrazení$f:V\times V\to \mathbb K$ splňuje$\forall u,v\in V,,\forall \alpha\in\mathbb K:f(\alpha u,v)=f(u,\alpha v)=\alpha f(u,v)$ $\forall u,v,w\in V:f(u+v,w)=f(u,w)+f(v,w)$ $\forall u,v,w\in V:f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)$
- poté se
$f$ nazývá bilineární forma na$V$ - bilineární forma je symetrická, když
$\forall u,v\in V:f(u,v)=f(v,u)$
- nechť
- kvadratická forma
- zobrazení
$g:V\to\mathbb K$ se nazývá kvadratická forma, pokud existuje bilineární forma$f$ taková, že$g(u)=f(u,u)$ pro všechny$u\in V$
- zobrazení
- matice bilineární formy vzhledem k bázi
- nechť
$V$ je vektorový prostor nad tělesem$\mathbb K$ s bází$X=(v_1,\dots,v_n)$ - matice bilineární formy
$f$ vzhledem k bází$X$ je matice$B$ definovaná$b_{ij}=f(v_i,v_j)$ - matice kvadratické formy
$g$ je matice symetrické bilineární formy$f$ odpovídající$g$ , pokud taková symetrická$f$ existuje - pozorování o použití matic forem:
$f(u,w)=[u]^T_XB[w]_X$ (důkaz pomocí vyjádření z bázických vektorů)
- nechť
- analytické vyjádření formy
- analytické vyjádření bilineární formy
$f$ nad$\mathbb K^n$ s maticí$B$ je homogenní polynom$f((x_1,\dots,x_n)^T,(y_1,\dots,y_n)^T)=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}b_{ij}x_iy_j$
- analytické vyjádření bilineární formy
- signatura formy
- nechť reálná kvadratická forma
$g$ má diagonální matici$B$ obsahující pouze$1,-1$ a$0$ - signatura formy
$g$ je trojice (počet jedniček, počet minus jedniček, počet nul), počítáno na diagonále matice$B$
- nechť reálná kvadratická forma
- věta o linearitě determinantu
- věta
- Determinant matice je lineárně závislý na každém jejím řádku a sloupci, tj vzhledem ke skalárnímu násobku řádku: $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ \alpha\cdot a_{i1} & \alpha\cdot a_{i2} & \cdots & \alpha\cdot a_{in}\ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=\alpha\cdot \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ a vzhledem ke sčítání řádků: $$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ b_{i1}+c_{i1} & b_{i2}+c_{i2} & \cdots & b_{in}+c_{in}\ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=$$ $$=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in}\ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ c_{i1} & c_{i2} & \cdots & c_{in}\ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$$
- důkaz
- důkaz pro skalární násobek
- poznámka: počáteční matici označím jako
$A$ , koncovou jako$B$ , obě matice viz výše -
$\alpha$ bude v každém součinu právě jednou (pro$i=j$ ) a ze součtu ho můžu vytknout, tedy$$\text{det }A=\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\left(\alpha\cdot\prod_{j=1}^na_{j,p(j)}\right)=$$ $$=\alpha\cdot\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{j=1}^na_{j,p(j)}=\text{det }B$$
- poznámka: počáteční matici označím jako
- důkaz pro součet
- mějme matice
$A,B,C$ - přičemž platí
$a_{kl}=b_{kl}+c_{kl}$ pro$k= i$ , jinak$a_{kl}=b_{kl}=c_{kl}$ - chceme
$\text{det }A=\text{det }B+\text{det }C$ - aplikujeme algebraické úpravy: $$\begin{gather*}\text{det }A=\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{j}a_{j,p(j)}=\sum_{p\in S_n}a_{i,p(i)}\cdot\text{sgn}(p)\prod_{j\neq i}a_{j,p(j)}= \ =\sum_{p\in S_n}(b_{i,p(i)}+c_{i,p(i)})\cdot\text{sgn}(p)\prod_{j\neq i}a_{j,p(j)}=\ =\sum_{p\in S_n}b_{i,p(i)}\cdot\text{sgn}(p)\prod_{j\neq i}b_{j,p(j)}+\sum_{p\in S_n}c_{i,p(i)}\cdot\text{sgn}(p)\prod_{j\neq i}c_{j,p(j)}=\ =\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{j}b_{j,p(j)}+\sum_{p\in S_n}\text{sgn}(p)\prod_{j}c_{j,p(j)}=\text{det }B+\text{det }C\end{gather*}$$
- mějme matice
- z toho lze za použití dalšího lemmatu (že matice se dvěma stejnými řádky nebo dvěma stejnými sloupci má nulový determinant) odvodit, že přičtení násobku řádku k jinému řádku matice nezmění determinant
- v konečném důsledku z toho vyplývá, že singulární matice má nulový determinant
- důkaz pro skalární násobek
- věta
- věta o determinantu součinu dvou matic
- věta: Pro libovolné
$A,B\in\mathbb K^{n\times n}:\text{det}(AB)=\text{det }A\cdot\text{det }B$ . - důkaz
-
$A,B$ jsou BÚNO regulární (jinak dostaneme$0=0$ ) - pro součin s elementárními maticemi věta platí, protože
- pro přičtení řádku k jinému řádku:
$\text{det }E=1$ - pro vynásobení řádku
$\alpha$ :$\text{det }E=\alpha$ - z těchto lze odvodit ostatní operace
- pro přičtení řádku k jinému řádku:
- rozložíme regulární
$A$ na elementární matice$A=E_1\dots E_k$ $\text{det}(AB)=\text{det}(E_1\dots E_kB)=\text{det }E_1\cdot\text{det}(E_2\dots E_kB)=$ $=\text{det }E_1\dots\text{det }E_k\cdot\text{det }B=\text{det}(E_1\dots E_k)\cdot\text{det }B=$ $=\text{det }A\cdot\text{det }B$
-
- důsledek:
$\text{det}(A^{-1})=(\text{det }A)^{-1}$ , neboť$\text{det }A\cdot\text{det}(A^{-1})=\text{det}(AA^{-1})=\text{det }I=1$ - důsledek:
$A$ je regulární$\iff\text{det }A\neq0$
- věta: Pro libovolné
- věta o Laplaceově rozvoji determinantu
- notace:
$A^{ij}$ je podmatice získaná z$A$ odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce - věta: Pro libovolné
$A\in\mathbb K^{n\times n}$ a jakékoli$i\in \lbrace 1,\dots,n\rbrace$ platí$$\text{det }A=\sum^n_{j=1}a_{ij}(-1)^{i+j}\text{ det }A^{ij}$$ - důkaz
- vyjádříme i-tý řádek jako lineární kombinaci vektorů kanonické báze (transponované do řádků) a použijeme linearitu
$(a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in})=a_{i1}e^T_1+a_{i2}e^T_2+\dots+a_{in}e^T_n$ - z linearity vyplývá, že se determinant původní matice rovná součtu
$n$ členů, kde j-tý člen je roven$a_{ij}$ -násobku determinantu matice, která má místo i-tého řádku j-tý kanonický vektor, tedy $$\begin{vmatrix} &&& \ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \ &&& \end{vmatrix}=a_{i1}\begin{vmatrix} &&& \ 1 & 0 & \cdots & 0 \ &&& \end{vmatrix}+a_{i2}\begin{vmatrix} &&& \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ &&& \end{vmatrix}+\cdots$$ - pro j-tou matici provedeme dvě úpravy: posuneme i-tý řádek na první pozici a posuneme j-tý sloupec na první pozici
- tím dostaneme na prvním řádku
$e_1$ - determinant matice, která má na prvním řádku
$e_1$ , odpovídá determinantu podmatice vzniklé odebráním prvního řádku a prvního sloupce - při posunutí k-tého řádku/sloupce na první pozici je potřeba determinant výsledné vynásobit
$(-1)^{k+1}$ , aby se rovnal determinantu původní matice- poznámka: podle mého názoru by to mělo být spíše
$(-1)^{k-1}$ , ale na tom nezáleží
- poznámka: podle mého názoru by to mělo být spíše
- po obou posunech dostaneme
$(-1)^{i+1+j+1}=(-1)^{i+j}$
- notace:
- Cramerovo pravidlo (řešení systémů s determinanty)
- věta
- Nechť
$A\in\mathbb K^{n\times n}$ je regulární matice. - Pro jakékoliv
$b\in\mathbb K^{n}$ řešení$x$ soustavy$Ax=b$ splňuje$x_i=\frac 1{\text{det }A}\text{ det }A_{i\to b}$ , kde$A_{i\to b}$ získáme z$A$ nahrazení i-tého sloupce vektorem$b$ .
- Nechť
- důkaz
- označme
$a_1,\dots,a_n$ sloupce matice$A$ - soustavu
$Ax=b$ lze přepsat po sloupcích na vztah$\sum^n_{j=1}x_ja_j=b$ -
$x_j$ je skalár
-
- z linearity determinantu podle i-tého sloupce (funguje díky linearitě součtu v řádku a díky tomu, že transpozice nemění determinant) dostáváme
$$\text{det }A_{i\to b}=\text{det }A_{i\to\sum^n_{j=1}x_ja_j}=\sum^n_{j=1}x_j\text{ det }A_{i\to a_j}=x_i\text{ det }A$$ - pro
$i\neq j$ je totiž determinant nulový, neboť v dané matici se jeden sloupec opakuje
- označme
- věta
- věta o adjungované matici
- věta: Pro regulární matici
$A\in\mathbb K^{n\times n}:A^{-1}=\frac1{\text{det }A}\text{ adj }A$ . - důkaz
- Laplaceovým rozvojem
$\text{det }A$ - (i-tý řádek z
$A$ )$\cdot$ (i-tý sloupec z$\text{adj }A$ )$=\text{det }A$ - to vyplývá z definice – faktory Laplaceova rozvoje podél i-tého řádku
$A$ ukládáme do i-tého sloupce$\text{adj }A$ - přičemž tyto faktory jsou v Laplaceově rozvoji násobeny postupně prkvy i-tého řádku
$A$ a sečteny – výsledkem je determinant$A$ - z toho vyplývá, že součin
$A$ a k ní adjungované bude mít na diagonále determinant$A$
- to vyplývá z definice – faktory Laplaceova rozvoje podél i-tého řádku
- pro
$j\neq i$ : (j-tý řádek z$A$ )$\cdot$ (i-tý sloupec z$\text{adj }A$ )$=\text{det}(A')=0$ -
$A'$ se totiž získá nahrazením i-tého řádku tím j-tým - u toho vyplývá, že součin
$A$ a k ní adjungované bude mít mimo diagonálu nuly
-
$A\cdot\text{adj }A=\text{det }A\cdot I\implies A\cdot(\frac1{\text{det }A}\text{ adj }A)=I$
- Laplaceovým rozvojem
- věta: Pro regulární matici
- věta o počtu koster grafu
- věta: Každý multigraf
$G$ s$|V_G|\geq 2$ splňuje$\kappa(G)=\text{det }L_G^{11}.$ - důkaz
- pomocné lemma:
$\kappa(G)=\kappa(G-e)+\kappa(G\circ e)$ - všechny kostry grafu
$G$ lze rozdělit podle toho, zda obsahují hranu$e$ - kostry grafu
$G-e$ jsou ty kostry$G$ , které hranu$e$ neobsahují - kostry grafu
$G\circ e$ jsou kostry$G$ , které hranu$e$ obsahují ($\circ$ značí kontrakci hrany)
- všechny kostry grafu
-
$G$ je BÚNO souvislý, důkaz indukcí podle$|E_G|$ - základní případ
- pro
$|E_G|=1$ má$G$ jen dva vrcholy a$\kappa(G)=1=\text{deg}(v_2)=(L_G)_{22}=\text{det }L_G^{11}$
- pro
- indukční krok
- zvolme libovolnou
$e\in E_G$ , BÚNO$e=(v_1,v_2)$ - předpokládáme, že jsou vrcholy očíslovány tak, aby zvolená hrana vedla právě takto
- označme
$A=L_G^{11},,B=L_{G-e}^{11},,C=L_{G\circ e}^{11}$ -
$C$ je podmatice$L_G$ odpovídající$v_3,\dots,v_n$ , tedy$C=A^{11}=B^{11}$ - z indukčního předpokladu:
$\kappa(G-e)=\text{det }B,,\kappa(G\circ e)=\text{det }C$ -
$A,B$ jsou shodné kromě$b_{11}=a_{11}-1$ , protože vypuštěním$e$ klesne stupeň$v_2$ o jedna - první sloupec
$A$ vyjádříme jako součet prvního sloupce$B$ a vektoru$e_1$ - linearitou determinantu matice
$A$ podél tohoto rozkladu prvního sloupce získáme$\text{det }A=\text{det }B+\text{det }C$ $\kappa(G)=\kappa(G-e)+\kappa(G\circ e)=\text{det }L_{G-e}^{11}+\text{det }L_{G\circ e}^{11}=\text{det }L_G^{11}$
- zvolme libovolnou
- pomocné lemma:
- věta: Každý multigraf
- malá Fermatova věta
- věta: Pro libovolné
$x\in\mathbb Z_p\setminus\lbrace 0\rbrace:x^{p-1}=1$ . - důkaz
- zobrazení
$f_a:x\mapsto ax$ je v$\mathbb Z_p$ bijekcí na$\lbrace 1, \dots, p-1 \rbrace$ - proto v
$\mathbb Z_p$ platí$\prod_{x=1}^{p-1}x=\prod_{x=1}^{p-1}f_a(x)=\prod_{x=1}^{p-1}ax=a^{p-1}\prod_{x=1}^{p-1}x$ - a po zkrácení
$\prod_{x=1}^{p-1}x$ dostaneme$1=a^{p-1}$
- zobrazení
- důsledek:
$a=a^p$ (v tělese$\mathbb Z_p$ ), případně$a^p-a=0$ - důsledek: pro každý
$q\in\mathbb Z_p(x)$ existuje$r\in\mathbb Z_p(x)$ stupně nejvýše$p-1$ takový, že$\forall x\in\mathbb Z_p:q(x)=r(x)$
- věta: Pro libovolné
- věta o Vandermondově matici
- věta: Vandermondova matice
$V_{n+1}(x_0,\dots,x_n)$ je regulární$\iff x_0,\dots,x_n$ jsou různá. - jak vypadá V. matice: v každém řádku je geometrická posloupnost s kvocientem
$x_i$ (posloupnost začíná jedničkou a končí$x_i^n$ ) - důkaz
- odečteme první řádek matice od všech ostatních (vzniklou matici označme
$A$ ) - v prvním soupci je jedna jednička a pod ní
$n$ nul, takže podle Laplaceova rozvoje dostaneme determinant matice bez prvního řádku a prvního sloupce (matice$A^{11}$ ) - z každého řádku vytkneme
$(x_i-x_0)$ , matici označme jako$B$ - tedy
$$\text{det }V_{n+1}=\text{det }A=\text{det }A^{11}=\left(\prod^n_{i=1}(x_i-x_0)\right)\cdot\text{det }B$$ - nyní odzadu odečteme od každého sloupce
$x_0$ -násobek předchozího, tak eliminujeme všechny sčítance obsahující$x_0$ - získáme rekurenci
$$\text{det}(V_{n+1}(x_0,\dots,x_n))=\left(\prod_{i=1}^n(x_i-x_0)\right)\cdot\text{det}(V_n(x_1,\dots,x_n))$$ - z toho plyne
$$\text{det}(V_{n+1}(x_0,\dots,x_n))=\prod_{i\lt j}(x_j-x_i)$$
- odečteme první řádek matice od všech ostatních (vzniklou matici označme
- věta: Vandermondova matice
- Lagrangeova interpolace (a její správnost)
- Lagrangeova interpolace je alternativní způsob interpolace polynomu
$p\in\mathbb K(x)$ stupně$n$ skrz$n+1$ bodů$(x_i,y_i)$ - určení polynomu (a důkaz správnosti)
- určíme
$n+1$ pomocných polynomů stupně$n$ $$p_i(x)=\frac{\prod_{j\neq i}(x-x_j)}{\prod_{j\neq i}(x_i-x_j)}$$ - v čitateli je součin dvojčlenů, jmenovatel je konstanta
- všimneme si, že
$p_i(x_i)=1$ a že$p_i(x_j)=0$ pro$i\neq j$ - to je vidět po dosazení za
$x$
- to je vidět po dosazení za
- sestavíme
$p(x)$ jako lineární kombinaci$p(x)=\sum^{n+1}_{j=1}y_jp_j(x)$ - tzn. každý z pomocných polynomů vynásobím odpovídajícím
$y_i$
- tzn. každý z pomocných polynomů vynásobím odpovídajícím
- potom platí
$p(x_i)=y_ip_i(x_i)=y_i$ , protože ve všech ostatních sčítancích je$p_j(x_i)$ roven nule
- určíme
- Lagrangeova interpolace je alternativní způsob interpolace polynomu
- věta o podprostoru vlastních vektorů
- věta: Vlastní vektory odpovídající stejnému vlastnímu číslu tvoří podprostor.
- důkaz
- uvažme vlastní číslo
$\lambda$ lineárního zobrazení$f:V\to V$ a množinu$U=\lbrace u \in V: f(u)=\lambda u\rbrace$ - tedy
$U$ je množina vlastních vektorů odpovídajících danému vlastnímu číslu
- tedy
- pro jakékoli
$u,v\in U$ a$\alpha\in \mathbb K$ dostaneme$f(\alpha u)=\alpha f(u)=\alpha\lambda u=\lambda(\alpha u)$ $f(u+v)=f(u)+f(v)=\lambda u+\lambda v=\lambda(u+v)$
- z toho plyne, že je
$U$ uzavřen na sčítání a skalární násobky, tedy je podprostorem$V$
- uvažme vlastní číslo
- věta o lineární nezávislosti vlastních vektorů
- věta: Nechť
$f:V\to V$ je lineární zobrazení a$\lambda_1,\dots,\lambda_k$ jsou různá vlastní čísla$f$ a$u_1,\dots,u_k$ odpovídající netriviální vlastní vektory. Potom$u_1,\dots,u_k$ jsou lineárně nezávislé. - důkaz
- pro spor přepdokládejme, že
$k$ je nejmenší číslo, pro které existují vlastní čísla a vektory odporující větě - tedy
$\sum^k_{i=1}\alpha_iu_i=0$ , přičemž alespoň jedno$\alpha_i$ je nenulové, tedy$\exists i:\alpha_i\neq 0$ - nulový vektor vyjádříme dvěma způsoby
$0=\lambda_k0=\lambda_k\sum^k_{i=1}\alpha_iu_i=\sum^k_{i=1}\lambda_k\alpha_iu_i$ $0=f(0)=f\left(\sum^k_{i=1}\alpha_iu_i\right)=\sum^k_{i=1}\alpha_if(u_i)=\sum^k_{i=1}\lambda_i\alpha_iu_i$
- z toho plyne
$0=0-0=\sum^k_{i=1}\lambda_i\alpha_iu_i-\sum^k_{i=1}\lambda_k\alpha_iu_i=\sum^{k-1}_{i=1}(\lambda_i-\lambda_k)\alpha_iu_i$ - poslední členy obou součtů jsou stejné, proto se odečtou
$\left(\sum^{k-1}_{i=1}(\lambda_i-\lambda_k)\alpha_iu_i=0\right)\land(\forall i:\lambda_i\neq\lambda_k)\land(\exists i:\alpha_i\neq0)$ $\implies\left(\sum^{k-1}_{i=1}\beta_iu_i=0\right)\land(\exists i:\beta_i\neq0)$ - tedy již prvních
$k-1$ vektorů je lineárně závislých, což je spor s minimalitou$k$
- pro spor přepdokládejme, že
- věta: Nechť
- věta o kořenech charakteristického polynomu
- věta: Číslo
$\lambda\in\mathbb K$ je vlastním číslem matice$A\in\mathbb K^{n\times n}\iff\lambda$ je kořenem jeho charakteristického polynomu$p_A(t)$ . - definice charakteristického polynomu:
$p_A(t)=\text{det}(A-tI_n)$ - důkaz
-
$\lambda$ je vlastní číslo$A$ $\iff\exists x\in\mathbb K^n\setminus\lbrace0\rbrace:Ax=\lambda x$ $\iff\exists x\in\mathbb K^n\setminus\lbrace0\rbrace: 0=Ax-\lambda x=Ax-\lambda I_nx=(A-\lambda I_n)x$ -
$\iff$ matice$A-\lambda I_n$ je singulární $\iff0=\text{det}(A-\lambda I_n)=p_A(\lambda)$
-
- věta: Číslo
- Cayley-Hamiltonova věta
- věta: Pro matici
$A\in\mathbb K^{n\times n}$ a její charakteristický polynom$p_A(t)=(-1)^nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+\dots+a_2t^2+a_1t+a_0$ platí, že$p_A(A)=(-1)^nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots+a_2A^2+a_1A+a_0I_n=0_n$ . - důkaz
- použijeme větu (o adjungované matici), že
$M\cdot\text{adj }M=(\text{det }M)\cdot I_n$ pro$M=A-tI_n$ - složky
$\text{adj}(A-tI_n)$ jsou determinanty podmatic, tj. polynomy v$t$ stupně nejvýše$n-1$ - matici lze tedy rozepsat takto:
$\text{adj}(A-tI_n)=t^{n-1}B_{n-1}+\dots+tB_1+B_0$ pro$B_{n-1},\dots,B_0\in\mathbb K^{n\times n}$ - nyní máme
$(A-tI_n)(t^{n-1}B_{n-1}+\dots+tB_1+B_0)$ $=p_A(t)I_n=(-1)^nt^nI_n+a_{n-1}t^{n-1}I_n+\dots+a_2t^2I_n+a_1tI_n+a_0I_n$ - získáme
$n+1$ rovnic (porovnáváme koeficienty u$t^i$ na levé a pravé straně rovnice)- pro
$t^n$ :$-B_{n-1}=(-1)^nI_n$ - pro
$t^i$ ($0\lt i\lt n$ ):$AB_i-B_{i-1}=a_iI_n$ - pro
$t^0$ :$AB_0=a_0I_n$
- pro
- všechny rovnice kromě té poslední vynásobíme zleva
$A^i$ (respektive$A^n$ ) a všechny je sečteme - na levé straně dostaneme
$-A^nB_{n-1}+A^{n-1}(AB_{n-1}-B_{n-2})+\dots+A(AB_1-B_0)+AB_0=0_n$ - členy se navzájem poodčítají
- pravá strana:
$(-1)^nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+\dots+a_2A^2+a_1A+a_0I_n=p_A(A)$
- použijeme větu (o adjungované matici), že
- věta: Pro matici
- nezbytná a postačující podmínka, kdy je matice diagonalizovatelná
- věta: Matice
$A\in\mathbb K^{n\times n}$ je podobná diagonální matici (tzn. diagonalizovatelná), právě když prostor$\mathbb K^n$ má bázi sestávající z vlastních vektorů$A$ . - důkaz:
$AR=RD$ s diagonální maticí$D$ , pokud pro každé$i$ existuje vektor$x$ (i-tý sloupec$R$ ) takový, že$Ax=\lambda x=d_{ii}x$ - důležitá „pozorování“
- vlastní vektory matice
$A$ tvoří bázi prostoru$\mathbb K^n\iff$ je jich$n$ a jsou lineárně nezávislé - matice
$R$ je regulární (z definice podobnosti) - vlastní čísla diagonální matice jsou její prvky na diagonále
- dvě podobné matice mají stejná vlastní čísla, důkaz:
$A=R^{-1}BR$ $Ax=\lambda x$ $R^{-1}BRx=\lambda x$ $BRx=\lambda Rx$ $By=\lambda y$
- vlastní vektory matice
- H. důkaz
-
$\implies$ -
$AR=RD$ , porovnáváme j-té sloupce - levá strana: $(AR){*j}=AR{*j}$
- pravá strana: $(RD){*j}=\lambda_j R{*j}$
-
$AR_{*j}=\lambda_j R_{*j}\implies R_{*j}$ je vlastní vektor matice$A$ - z regularity
$R$ vyplývá lineární nezávislost
-
-
$\impliedby$ -
$R$ sestavíme z vlastních vektorů matice$A$ (dáme je do sloupců) - tedy platí
$AR_{*j}=\lambda_j R_{*j}$ - z toho odvodíme
$AR=RD$
-
-
- důsledek – matice
$R$ je tvořena vlastními vektory matice$A$ , matice$D$ ma na diagonále vlastní čísla matice$A$
- věta: Matice
- věta o diagonalizaci speciálních komplexních matic
- věta: Každá hermitovská matice
$A$ má všechna vlastní čísla reálná. Navíc existuje unitární matice$R$ taková, že$R^{-1}AR$ je diagonální. - pozorování o hermitovských a unitárních maticích
- hermitovské matice mají reálnou úhlopříčku
-
$A$ je unitární$\iff A^H$ je unitární - součin unitárních matic je unitární
- unitární
$A$ splňuje$A^HA=I$ , tj. pro sloupce$x_1,\dots,x_n$ platí$x_i^Hx_i=1$ a$x_i^Hx_j=0$ pro$i\neq j$
- důkaz: indukcí dle
$n$ (řádu matice)- pro
$n=1$ věta platí - označme
$A_n=A$ - v tělese
$\mathbb C$ má matice$A_n$ vlastní číslo$\lambda$ s vlastním vektorem$x$ - zvětšíme
$x$ faktorem$\frac1{\sqrt{x^Hx}}$ , aby platilo$x^Hx=1$ - normalizace vektoru
- doplníme
$x$ na unitární matici$P_n$ - doplnění lze provést
- mějme matici
$P_n^HA_nP_n$ , ta je hermitovská:$(P^H_nA_nP_n)^H=P^H_nA^H_n(P^H_n)^H=P^H_nA_nP_n$ - $($první sloupec
$P_n$ je$x)\land (A_nx=\lambda x)\implies$ první sloupec$A_nP_n$ je$\lambda x$ -
$P_n$ je unitární$\implies$ první sloupec$P^H_nA_nP_n$ je$P^H_n\lambda x=\lambda P^H_nx=\lambda e_1$ - protože součin i-tého řádku a sloupce je jedna, jinak nula (a vektor
$x$ odpovídá prvnímu řádku matice$P^H_n$ )
- protože součin i-tého řádku a sloupce je jedna, jinak nula (a vektor
-
$(P^H_nA_nP_n)_{11}=\lambda$ , zbytek prvního řádku a prvního sloupce tvoří nuly- nuly v prvním sloupci jsme odvodili
- z hermitovskosti vyplývá, že
$\lambda\in\mathbb R$ (protože je na diagonále) a že jsou nuly i v prvním řádku
-
$(P_n^HA_nP_n)^{11}=A_{n-1}$ hermitovská - podle indukčního předpokladu:
$R_{n-1}^{-1}A_{n-1}R_{n-1}=D_{n-1}$ pro nějakou unitární$R_{n-1}$ a diagonální$D_{n-1}$ - položíme $R_n=P_n\cdot\begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R_{n-1} \end{pmatrix}$
- součiny unitárních matic jsou unitární
- $R^{-1}nA_nR_n=R^H_nA_nR_n=\begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R^H{n-1} \end{pmatrix}\cdot P^H_nA_nP_n\cdot \begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R_{n-1} \end{pmatrix}=$
- $=\begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R^H_{n-1} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\lambda & 0^T \ 0 & A_{n-1} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R_{n-1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda & 0^T \ 0 & D_{n-1} \end{pmatrix}=D_n$
- pro
- věta: Každá hermitovská matice
- Cauchy-Schwarzova nerovnost
- věta: Skalární součin libovolných dvou vektorů
$u$ a$v$ ve vektorovém prostoru nad$\mathbb C$ splňuje$|\langle u|v\rangle|\leq\sqrt{\langle u|u\rangle\langle v|v\rangle}$ .- tedy
$|\langle u|v \rangle|\leq ||u||\cdot ||v||$ (vůči odpovídající normě)
- tedy
- důkaz
- pro
$u=0$ nebo$v=0$ dostaneme$0\leq 0$ - pro libovolné
$a\in\mathbb C$ platí:$||u+a v||^2\geq 0$ -
$||u+a v||^2=\langle u+a v|u+a v\rangle$ $=\langle u|u\rangle + a \langle v|u\rangle +\overline{a}\langle u|v\rangle + a\overline{a}\langle v|v\rangle$
- pro vzájemné odečtení posledních dvou členů zvolíme
$$a=-\frac{\langle u|v\rangle}{\langle v|v\rangle}$$ - dostaneme
$0\leq\langle u|u\rangle-\frac{\langle u|v\rangle}{\langle v|v\rangle}\langle v|u\rangle$ -
$\langle u|v\rangle\langle v|u\rangle\leq\langle u|u\rangle\langle v|v\rangle$ - na
$\mathbb C$ platí$a\overline{a}=|a|^2$
- na
$|\langle u|v\rangle|^2\leq||u||^2\cdot||v||^2$ $|\langle u|v\rangle|\leq||u||\cdot||v||$
- pro
- věta: Skalární součin libovolných dvou vektorů
- trojúhelníková nerovnost
- tvrzení: Každá norma odvozená ze skalárního součinu splňuje trojúhelníkovou nerovnost:
$||u+v||\leq||u||+||v||$ - důkaz
$||u+v||=\sqrt{\langle u+v|u+v\rangle}=\sqrt{\langle u|u\rangle+\langle v|u\rangle+\langle u|v\rangle+\langle v|v\rangle}\leq$ $\leq\sqrt{||u||^2+2|\langle u|v\rangle|+||v||^2}\leq\sqrt{||u||^2+2||u||\cdot||v||+||v||^2}=$ $=||u||+||v||$ - první nerovnost platí, neboť
$(a+bi)+(a-bi)\leq 2|a+bi|$ $2a\leq2\sqrt{a^2+b^2}$ $a^2\leq a^2+b^2$
- druhá nerovnost vyplývá z Cauchy-Schwarzovy nerovnosti
- tvrzení: Každá norma odvozená ze skalárního součinu splňuje trojúhelníkovou nerovnost:
- věta o Fourierových koeficientech
- nechť
$Z=\lbrace v_1,\dots,v_n\rbrace$ je ortonormální báze prostoru$V$ - tvrzení: pro každé
$u\in V$ platí$u=\langle u|v_1\rangle v_1+\dots+\langle u|v_n\rangle v_n$ -
$\langle u|v_i\rangle$ … Fourierovy koeficienty - důkaz: (vyplývá z toho, že
$\langle v_i|v_j\rangle$ se rovná jedné pro$i=j$ , jinak nule)$$u=\sum^n_{i=1} \alpha_iv_i\implies\langle u|v_j\rangle=\left\langle \sum^n_{i=1} \alpha_iv_i\middle|v_j\right\rangle=\sum^n_{i=1}\alpha_i\langle v_i|v_j\rangle=\alpha_j$$
- nechť
- Gram-Schmidtova ortonormalizace (a její správnost) – včetně lemmatu, pokud jej potřebujete
- algoritmus – převede libovolnou bázi
$(u_1,\dots,u_n)$ prostoru$V$ se skalárním součinem na ortonormální bázi$(v_1,\dots,v_n)$ - for
$i=1,\dots,n$ do$w_i=u_i-\sum^{i-1}_{j=1}\langle u_i|v_j\rangle v_j$ $v_i=\frac1{||w_i||}w_i$
- end
- for
- důkaz správnosti
-
$v_i\perp v_j\iff i\neq j$ plyne z$w_i\perp v_j$ pro každé$j\lt i$ , což dokazuje následující lemma- lemma: Nechť
$p_Z$ je ortogonální projekce$W$ na$V$ , potom$u-p_Z(u)\perp v_i$ pro každé$v_i\in Z$ . - důkaz
$\langle u-p_Z(u)|v_i\rangle=\left\langle u-\sum^n_{j=1}\langle u|v_j\rangle v_j\middle|v_i\right\rangle=$ -
$=\langle u|v_i\rangle-\sum^n_{j=1}\langle u|v_j\rangle\langle v_j|v_i\rangle=\langle u|v_i\rangle-\langle u|v_i\rangle=0$ $\langle v_j|v_i\rangle =0\iff i\neq j$ $\langle v_j|v_i\rangle =1\iff i=j$
- lemma: Nechť
$||v_i||=\left\Vert\frac1{||w_i||}w_i\right\Vert=\frac{||w_i||}{||w_i||}=1$ - pomocí lemmatu o výměně dokážeme, že po výměně
$u_i$ za$w_i$ , respektive$v_i$ dané vektory stále generují stejný prostor- lemma o výměně
- Buď
$y_1,\dots,y_n$ systém generátorů vektorového prostoru$V$ a nechť vektor$x \in V$ má vyjádření$x = \sum_{i=1}^n\alpha_iy_i$ . - Pak pro libovolné
$k$ takové, že$\alpha_k \neq 0$ , je$y_1,\dots,y_{k-1},x,y_{k+1},\dots,y_n$ systém generátorů prostoru$V$ .
- Buď
- důkaz lemmatu
$x = \sum_i\alpha_iy_i = \sum_{i\neq k}\alpha_iy_i + \alpha_ky_k$ $y_k=\frac{1}{\alpha_k}(x-\sum_{i\neq k}\alpha_iy_i)$ - libovolný vektor
$z \in V$ lze vyjádřit jako$z = \sum_i\beta_iy_i=\sum_{i\neq k}\beta_iy_i + \beta_ky_k=$ $=\sum_{i\neq k}\beta_iy_i + \frac{\beta_k}{\alpha_k}(x-\sum_{i\neq k}\alpha_iy_i)=$ $=\frac{\beta_k}{\alpha_k}x+\sum_{i\neq k}(\beta_i-\frac{\beta_k}{\alpha_k}\alpha_i)y_i$
- lemma o výměně
-
- algoritmus – převede libovolnou bázi
- věta o izometrii a normě
- věta: Lineární zobrazení mezi prostory
$V$ a$W$ je izometrie, právě když zachovává související normu, tj.$||u||=||f(u)||$ . - definice: lineární zobrazení je izometrie, pokud zachovává skalární součin, tedy
$\langle u|w\rangle=\langle f(u)|f(w)\rangle$ - důkaz
-
$\implies$ vychází z definice normy (norma závisí na skalárním součinu) - pro
$\impliedby$ porovnáme$||u+aw||^2=||f(u+aw)||^2$ - levá strana:
$||u||^2+a\langle w|u\rangle + \overline{a}\langle u|w\rangle + a\overline{a}||w||^2$ - pravá strana:
$||f(u)||^2+a\langle f(w)|f(u)\rangle + \overline{a}\langle f(u)|f(w)\rangle + a\overline{a}||f(w)||^2$ - první a poslední členy se zjevně rovnají
- pro konkrétní
$a$ porovnáme obě strany - pro
$a=1$ :$\langle w|u\rangle+\langle u|w\rangle=\langle f(w)|f(u)\rangle+\langle f(u)|f(w)\rangle$ - pro
$a=i$ :$\langle w|u\rangle-\langle u|w\rangle=\langle f(w)|f(u)\rangle-\langle f(u)|f(w)\rangle$ - obě rovnice sečteme a dostaneme
$\langle u|w\rangle=\langle f(u)|f(w)\rangle$
-
- věta: Lineární zobrazení mezi prostory
- věta o izometrii a vlastnostech její matice
- věta
- Nechť
$V$ a$W$ jsou prostory se skalárním součinem konečné dimenze a$X,Y$ jsou jejich ortonormální báze. - Lineární zobrazení
$f:V\to W$ je bijektivní izometrie, právě když$[f]_{XY}$ je unitární.
- Nechť
- důkaz
- lineární bijekce implikuje stejné dimenze a naopak
-
$X$ je ortonormální$\implies\langle u|w\rangle=[w]^H_X[u]_X$ , důkaz:$u=\sum^n_{i=1}\langle u|v_i\rangle v_i;\quad w=\sum^n_{j=1}\langle w|v_j\rangle v_j$ $\langle u|w\rangle =\left\langle \sum^n_{i=1}\langle u|v_i\rangle v_i\middle|\sum^n_{j=1}\langle w|v_j\rangle v_j\right\rangle=$ -
$=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}\langle u|v_i\rangle\overline{\langle w|v_j\rangle}\langle v_i|v_j\rangle=\sum^n_{i=1}\langle u|v_i\rangle\overline{\langle w|v_i\rangle}=[w]^H_Z[u]_Z$ - (
$\langle w|v_k\rangle$ je komplexně sdružené)
- (
-
$Y$ je ortonormální $\implies\langle f(u)|f(w)\rangle=[f(w)]^H_Y[f(u)]Y=[w]^H_X[f]^H{XY}[f]_{XY}[u]_X$ - maticová rovnost
$x^Ty=x^TAy$ obecně platí, pouze když je$A$ jednotková matice -
$f$ je izometrie pokud $[w]^H_X[u]X=[w]X^H[f]^H{XY}[f]{XY}[u]_X$ platí pro všechna$u$ a$w$ - to platí právě když $[f]^H_{XY}[f]{XY}=I$, tedy je-li $[f]{XY}$ unitární
- věta
- věta o ortogonálním doplňku
- věta: Pro konečně generovaný prostor
$W$ se skalárním součinem a podprostor$V$ platí$(V^\perp)^\perp=V$ a$\text{dim }V+\text{dim }V^\perp=\text{dim }W$ . - důkaz
- zvolíme nějakou ortonormální bázi
$X$ prostoru$V$ a doplníme ji na ortonormální bázi$Z$ prostoru$W$ - označme
$Y=Z\setminus X,,X=(x_1,\dots,x_k),,Y=(y_1,\dots,y_l)$ - každé
$u\in\mathcal L(X)=V$ je kolmé ke každému$v\in\mathcal L(Y)$ $\langle u|v\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^ka_ix_i\middle|\sum^l_{j=1}b_jy_j\right\rangle=\sum^k_{i=1}\sum^l_{j=1}a_i\bar{b_j}\langle x_i|y_j\rangle=0$ - protože
$Z$ je ortonormální báze - proto
$\mathcal L(Y)\subseteq V^\perp$
- vezměme
$w\in V^\perp$ a uvažme$[w]_Z$ -
$Z$ je ortonormální$\implies ([w]_Z)_i=\langle w|z_i\rangle$ $w\in V^\perp\implies\langle w|x_i\rangle =0\implies w\in\mathcal L(Y)\implies V^\perp\subseteq\mathcal L(Y)$ - tedy
$V^\perp=\mathcal L(Y)$ $\text{dim }V+\text{dim }V^\perp=|X|+|Y|=|Z|=\text{dim }W$ $(V^\perp)^\perp=\mathcal L(Z\setminus Y)=\mathcal L(X)=V$
- zvolíme nějakou ortonormální bázi
- věta: Pro konečně generovaný prostor
- věta o skalárním součinu dvou vektorů a Gramově matici
- věta
- Nechť
$V$ je prostor se skalárním součinem a bází$X=(v_1,\dots,v_n)$ . - Potom tzv. Gramova matice
$A$ definované$a_{ij}=\langle v_i|v_j\rangle$ splňuje$\forall u,w\in V:\langle u|w\rangle =[w]^H_XA^T[u]_X$ .
- Nechť
- pozorování: když je
$X$ ortonormální báze, pak$A=I_n$ - důkaz
- označme
$[u]_X=(b_1,\dots,b_n)^T,,[w]_X=(c_1,\dots,c_n)^T$ $\langle u|v\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^nb_iv_i\middle|\sum^n_{j=1}c_jv_j\right\rangle=$ $=\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}b_i\bar{c_j}\langle v_i|v_j\rangle=[w]^H_XA^T[u]_X$
- označme
- věta
- věta o třech ekvivalentních podmínkách pro pozitivně definitní matice
- věta: Pro hermitovskou matici
$A$ jsou následující podmínky ekvivalentní:-
$A$ je pozitivně definitní, -
$A$ má všechna vlastní čísla kladná, - existuje regulární matice
$U$ taková, že$A=U^HU$ .
-
- důkaz
-
$1\implies 2$ - protože
$A$ je hermitovská, má vlastní čísla reálná - mějme netriviální vlastní vektor
$x$ odpovídající vl. číslu$\lambda$ - potom
$0\lt x^HAx=\lambda x^Hx=\lambda\langle x|x\rangle$ $\langle x|x\rangle\gt 0\implies\lambda\gt 0$
- protože
-
$2\implies 3$ - protože
$A$ je hermitovská, existují unitární$R$ a diagonální$D$ takové, že$A=R^HDR$ - vezměme diagonální
$\tilde D:\tilde d_{ii}=\sqrt{d_{ii}}$ - vezměme
$U=\tilde DR$ $U^HU=(\tilde DR)^H\tilde DR=R^H\tilde D^H\tilde DR=R^HDR=A$ -
$U$ je regulární, protože unitární i diagonální matice jsou regulární
- protože
-
$3\implies 1$ - pro regulární
$U$ platí$x\in\mathbb C^n\setminus\lbrace0\rbrace\implies Ux\neq0$ $x^HAx=x^HU^HUx=(Ux)^HUx=\langle Ux|Ux\rangle \gt 0$
- pro regulární
-
- věta: Pro hermitovskou matici
- věta o rekurentní podmínce pro pozitivně definitní matice
- věta: Bloková matice $A=\begin{pmatrix}\alpha & a^H \ a & \tilde A \end{pmatrix}$ je pozitivně definitní
$\iff \alpha\gt 0\land\tilde A-\frac1\alpha aa^H$ je pozitivně definitní. - pozorování: Gaussova eliminace prvního sloupce pomocí prvního řádku dává v hermitovské matici $\begin{pmatrix}\alpha & a^H \ a & \tilde A \end{pmatrix}\sim\sim\begin{pmatrix}\alpha & a^H \ 0 & \tilde A-\frac1\alpha aa^H \end{pmatrix}$
- pozorování: pokud je
$A$ pozitivně definitní a$R$ je regulární, pak$R^HAR$ je také pozitivně definitní- důkaz:
$x^HR^HARx=y^HAy\gt0$ pro$y=Rx\neq 0$
- důkaz:
- pozorování: hermitovská bloková matice $C=\begin{pmatrix}A & 0 \ 0 & B \end{pmatrix}$ je pozitivně definitní, právě když jsou
$A$ i$B$ pozitivně definitní, důkaz:- mějme
$z=(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)^T$ -
$\impliedby:\quad z^HCz=x^HAx+y^HBy$ - když jsou oba sčítance kladné, tak je kladný i součet
-
$\implies:\quad$ doplníme$x$ nulami na$z$ , dostaneme$x^HAx=z^HCz\gt 0$ - podobně pro
$y$ a$B$
- podobně pro
- mějme
- důkaz
- Gaussova eliminace prvního sloupce
$A$ odpovídá součinu $$\begin{pmatrix}1 & 0^H \ -\frac1\alpha a & I \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\alpha & a^H \ a & \tilde A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha & a^H \ 0 & \tilde A-\frac1\alpha aa^H \end{pmatrix}$$- matici elementárních úprav označme
$R^H$ (je regulární)
- matici elementárních úprav označme
- $R^HAR=\begin{pmatrix}\alpha & 0^H \ 0 & \tilde A-\frac1\alpha aa^H \end{pmatrix}$
-
$A$ je pozitivně definitní, právě když je výsledná bloková matice pozitivně definitní (což nastává, když má oba nenulové bloky pozitivně definitní)
-
- Gaussova eliminace prvního sloupce
- věta: Bloková matice $A=\begin{pmatrix}\alpha & a^H \ a & \tilde A \end{pmatrix}$ je pozitivně definitní
- věta o pozitivně definitních maticích a determinantech
- věta (Sylvesterova podmínka, hlavní vedoucí podmatice): Hermitovská matice
$A$ řádu$n$ je pozitivně definitní, právě když matice$A_1,\dots,A_n$ mají kladné determinanty, kde$A_i$ sestává z prvních$i$ řádku a sloupců$A$ . - důkaz
- použijeme Gaussovu eliminaci
$A\sim\sim A'$ pro test, zda je$A$ pozitivně definitní -
$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ jsou prvky na diagonále výsledné horní trojúhelníkové matice$A'$ - eliminaci jsme prováděli přičítáním násobku řádku shora dolů, tedy $\text{det }A_i=\text{det }A'i=\prod{j\leq i}\alpha_j=\text{det }A_{i-1}\alpha_i$
-
$A$ je pozitivně definitní$\iff\alpha_1,\dots,\alpha_n\gt0\iff\text{det }A_1,\dots,\text{det }A_n\gt0$
- použijeme Gaussovu eliminaci
- věta (Sylvesterova podmínka, hlavní vedoucí podmatice): Hermitovská matice
- algoritmus pro výpočet Choleského rozkladu (a jeho správnost)
- máme
$A$ , hledáme$U$ takové, že$U^HU=A$ - algoritmus
- input: hermitovská
$A$ - output:
$U$ , pokud je$A$ pozitivně definitní - for
$i=1,\dots,n$ do- $u_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum^{i-1}{k=1}\bar u{ki}u_{ki}}$
- if
$u_{ii}\notin\mathbb R^+$ then return$A$ není pozitivně definitní - for
$j=i+1,\dots,n$ do- $u_{ij}=\frac1{u_{ii}}\left(a_{ij}-\sum^{i-1}{k=1}\bar u{ki}u_{kj}\right)$
- end
- end
- input: hermitovská
- správnost
- předpokládejme, že algoritmus selže během i-té iterace, tj.
$\alpha-u^Hu\leq 0$ -
$\alpha$ odpovídá$a_{ii}$
-
-
$u$ je vektor o$i-1$ složkách v horní trojúhelníkové matici - máme částečný rozklad hlavní vedoucí podmatice
$A'=V^HV$ a rovněž sloupec nad$\alpha$ (a řádku vlevo)$a=V^Hu$ - trikově zvolíme
$x=-V^{-1}u$ -
$x$ má$i-1$ složek, tedy jej doplníme o jednu jedničku (na pozici$i$ ) a jinak samé nuly na vektor$y$ -
$y^HAy=x^HA'x+x^Ha+a^Hx+\alpha=$ - tento rozklad vychází z toho, jak vypadá vektor
$y$ - první člen součtu násobí dvakrát vektorem
$x$ - druhý a třetí člen násobí jednou
$x$ a jednou jedničkou (na i-té pozici) - čtvrtý člen násobí dvakrát jedničkou
- ostatní členy násobí nulou (proto v součtu chybí)
- první člen součtu násobí dvakrát vektorem
- tento rozklad vychází z toho, jak vypadá vektor
$=(-V^{-1}u)^H(V^HV)(-V^{-1}u)+$ $+(-V^{-1}u)^H(V^Hu)+(V^Hu)^H(-V^{-1}u)+\alpha=$ $=u^H(V^H)^{-1}V^HVV^{-1}u-u^H(V^H)^{-1}V^Hu-u^HVV^{-1}u+\alpha=$ $=u^Hu-u^Hu-u^Hu+\alpha=\alpha-u^Hu\leq 0$ - proto
$A$ není pozitivně definitní
- předpokládejme, že algoritmus selže během i-té iterace, tj.
- máme
- věta o diagonalizovatelnosti matic forem
- věta: Pokud je
$g$ kvadratická forma na vektorovém prostoru$V$ konečné dimenze$n$ nad tělesem$\mathbb K$ jiné charakteristiky než 2, pak má forma$g$ diagonální matici$B$ vzhledem k vhodné bázi$X$ . (To platí i pro symetrické bilineární formy.) - definice: Polární báze dává diagonální matici kvadratické formy.
- přeformulováno z hlediska matic:
- věta: Pro jakoukoliv symetrickou matici
$A\in\mathbb K^{n\times n}$ s$\text{char}(\mathbb K)\neq 2$ existuje regulární matice$R$ taková, že$R^TAR$ je diagonální.
- věta: Pro jakoukoliv symetrickou matici
- důkaz
- indukcí dle
$n$ (řádu matice) - označme $A=A_n=\begin{pmatrix}\alpha & a^T \ a & \tilde A \end{pmatrix}$
- když
$\alpha\neq 0$ , volíme $P^T_n=\begin{pmatrix}1 & 0^T \ -\frac1\alpha a & I_{n-1} \end{pmatrix}$ - pak $P^T_nA_nP_n=\begin{pmatrix}\alpha & 0^H \ 0 & \tilde A-\frac1\alpha aa^T \end{pmatrix}$
- označíme
$A_{n-1}=\tilde A-\frac1\alpha aa^T$ , tato matice je symetrická - dle indukčního předpokladu existuje
$R_{n-1}$ pro$A_{n-1}$ - zvolíme $R_n=P_n\cdot \begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R_{n-1}\end{pmatrix}$
- pak $R^T_nA_nR_n=\begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R^T_{n-1}\end{pmatrix}\cdot P^T_nA_nP_n \cdot \begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R_{n-1}\end{pmatrix}=$
- $=\begin{pmatrix}\alpha & 0^T \ 0 & R^T_{n-1}A_{n-1}R_{n-1}\end{pmatrix}$, což je dle IP diagonální matice
- pokud
$\alpha=0$ , ale první sloupec není nulový ($a_{i1}$ je nenulové pro nějaké$i$ ), tak použijeme elementární matici$E$ pro přičtení i-tého sloupce k prvnímu → vezmeme$A'=E^TAE$ místo$A$ - pokud je celý první řádek (i sloupec) nulový, tak $R_n=\begin{pmatrix}1 & 0^T \ 0 & R_{n-1}\end{pmatrix}$
- indukcí dle
- věta: Pokud je
- Sylvesterův zákon setrvačnosti – o diagonalizaci kvadratických forem
- věta
- Každá kvadratická forma na konečně generovaném reálném vektorovém prostoru má vzhledem k vhodné bázi diagonální matici pouze s 1, –1 a 0.
- Všechny takové diagonální matice odpovídající téže formě mají stejný počet 1 a stejný počet –1.
- důkaz existence
- nechť
$B$ je maticí formy vzhledem k bázi$Y$ - pro reálnou symetrickou matici existuje spektrální rozklad (lze ji diagonalizovat), tedy
$B=R^TDR$ pro regulární$R$ - rozložíme
$D=S^TD'S$ - všechny matice jsou diagonální
- $d'{ii}=\text{sgn}(d{ii})$
-
$s_{ii}=\sqrt{|d_{ii}|}$ pro nenulové$d_{ii}$ - pro
$d_{ii}=0:s_{ii}=1$ , aby$S$ byla regulární
- pro
-
$SR$ je regulární,$B=(SR)^TD'SR$ - zvolíme bázi
$X$ tak, že $[id]{X,Y}=SR,,[id]{Y,X}=(SR)^{-1}$ -
$[id]^T_{Y,X}B[id]_{Y,X}=D'$ je hledaná matice formy
- nechť
- důkaz jednoznačnosti signatury (počtu jedniček, minus jedniček, nul)
- mějme báze
$X=(u_1,\dots,u_n),,Y=(v_1,\dots,v_n)$ - mějme dvě různé „sylvesterovské“ matice
$B,B'$ formy$g$ uspořádané tak, že nejdříve jsou jedničky, pak minus jedničky a nakonec nuly - součin s regulární maticí přechodu nemění hodnost, tedy i počet nul musí být v obou maticích stejný
- nechť
$r$ je počet jedniček v$B$ ,$s$ je počet jedniček v$B'$ - BÚNO
$r\gt s$ - uvažme podprostory
$\mathcal L(u_1,\dots,u_r)$ a$\mathcal L(v_{s+1},\dots,v_n)$ - z
$r\gt s$ vyplývá, že součet jejich dimenzí přesahuje$n$ , tedy mají netriviální průnik - zvolme nenulový vektor
$w$ z tohoto průniku$[w]_X=(x_1,\dots,x_r,0,\dots,0)$ - $[w]Y=(0,\dots,0,y{s+1},\dots,y_n)$
- alespoň jedno
$x_i$ a alespoň jedno$y_i$ je nenulové
-
$g(w)=[w]^T_XB[w]_X=x_1^2+\dots+x^2_r\gt 0$ - protože alespoň jedno
$x_i$ je nenulové
- protože alespoň jedno
-
$g(w)=[w]^T_YB[w]_Y=-y_1^2-\dots-y^2_r\lt 0$ - protože alespoň jedno
$y_i$ je nenulové
- protože alespoň jedno
- musí však platit
$g(w)=g(w)$ , což neplatí → to je spor - tedy
$r=s$
- mějme báze
- věta
- věta o počtu přímek svírajících stejný úhel
- věta: V
$\mathbb R^d$ může nevýše$d+1\choose 2$ přímek svírat stejný úhel$\varphi$ . - důkaz
- předpokládejme, že existuje
$n$ takových přímek - zvolíme vektory jednotkové délky
$v_1,\dots,v_n$ , z každé přímky po jednom - platí
$\langle v_i|v_j\rangle=\cos \varphi$ pro$i\neq j$ (jinak 1, protože jsou jednotkové délky) - dokážeme, že matice
$v_1v_1^T,\dots,v_nv_n^T\in\mathbb R^{d\times d}$ jsou lineárně nezávislé- předpokládejme, že
$\sum_{i=1}^n\alpha_iv_iv_i^T=0$ (lineární kombinace matic se rovná nulové matici) - pak musí platit pro každé
$j\in\lbrace1,\dots,n\rbrace:0=v_j^T0v_j=v^T_j\left(\sum^n_{i=1}\alpha_iv_iv_i^T\right)v_j=$ $=\sum^n_{i=1}\alpha_iv_j^Tv_iv_i^Tv_j=\sum^n_{i=1}\alpha_i\langle v_i|v_j\rangle^2=\alpha_j+\cos^2\varphi\sum_{i\neq j}\alpha_i$ - to lze přepsat na soustavu rovnic
$Ax=0$ -
$A$ má na diagonále jedničky, všude jinde$\cos^2\varphi$ $x=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)^T$
-
- matice této soustavy je regulární, proto je jediným řešením
$\alpha_1=\dots=\alpha_n=0$ , z toho plyne lineární nezávislost matic
- předpokládejme, že
- dimenze prostoru symetrických matic z
$\mathbb R^{d\times d}$ je$d+1\choose 2$ - proto
$n\leq {d+1\choose 2}$
- proto
- předpokládejme, že existuje
- věta: V
- výpočet determinantů
- permutační grupa, znaménko permutace
- vzorec pro výpočet determinantu
- Sarrusovo pravidlo pro matice 3×3
- determinant matice s nulovým řádkem
- determinant trojúhelníkové matice
- vliv elementárních úprav a transpozice na determinant
- věta o linearitě determinantu
- determinant singulární matice je roven nule
- věta o determinantu součinu dvou matic
- věta o Laplaceově rozvoji determinantu
- adjungovaná matice
- věta o adjungované matici
- Cramerovo pravidlo (řešení systémů s determinanty)
- determinanty a jejich geometrický význam
- viz výpočet determinantů
- objem rovnoběžnostěnu určeného
$k$ vektory je roven absolutní hodnotě determinantu matice, jejíž sloupce tyto vektory tvoří - po provedení lineárního zobrazení se objemy těles změní úměrně absolutní hodnotě determinantu matice zobrazení
- počet koster grafu
- kostra je podgraf souvislého grafu, který je stromem a obsahuje všechny vrcholy
- Laplaceova matice
- věta o počtu koster grafu
- úplný graf
$K_n$ má$n^{n-2}$ koster
- polynomy
- polynom nad tělesem
- operace s polynomy – sčítání, odčítání, skalární násobek, součin, dělení se zbytkem
- malá Fermatova věta
- kořen polynomu a jeho násobnost
- algebraicky uzavřené těleso
- Vandermondova matice
- věta o Vandermondově matici
- Lagrangeova interpolace
- vlastní čísla a vlastní vektory
- vlastní číslo a vlastní vektor lineárního zobrazení
- vlastní číslo a vlastní vektor matice
- spektrum (množina vlastních čísel matice)
- algebraická násobnost vlastního čísla
- geometrická násobnost vlastního čísla
- věta o podprostoru vlastních vektorů
- věta o lineární nezávislosti vlastních vektorů
- vlastní vektory a vlastní čísla diagonální matice
- matice řádu
$n$ může mít nejvýše$n$ různých vlastních čísel
- charakteristický polynom a jeho koeficienty
- charakteristický polynom matice
- vlastní čísla jako kořeny charakteristického polynomu
- algebraická násobnost vlastního čísla
- věta o kořenech charakteristického polynomu
- spektrální rozklad pomocí charakteristického polynomu
- Geršgorinovy kruhy
- Cayley-Hamiltonova věta
- podobné matice a diagonalizace
- podobné matice
- idea: matice stejného zobrazení vzhledem k různým bázím jsou podobné
- mají stejná vlastní čísla
- rovnají se jejich charakteristické polynomy
- diagonalizovatelná matice
- nezbytná a postačující podmínka, kdy je matice diagonalizovatelná
- Jordanova normální forma (každá čtvercová komplexní matice je podobná matici v Jordanově normální formě)
- Jordanův blok
- Jordanův normální tvar matice
- zobecněný vlastní vektor
- pro rozklad
$AR=RJ$ se zobecněné vlstní vektory objevují ve sloupcích$R$ společně s vlastními vektory
- pro rozklad
- podobné matice
- speciální komplexní matice
- transpozice, hermitovská transpozice
- symetrická matice, hermitovská matice
- ortogonální matice, unitární matice
- věta o diagonalizaci speciálních komplexních matic
- skalární součin a související norma
- skalární součin pro vektorové prostory nad komplexními čísly
- kdy je reálný
- norma spojená se skalárním součinem (odvozená ze součinu, indukovaná součinem)
- geometrická interpretace
- kolmé vektory
- ortonormální báze
- Fourierovy koeficienty
- kolmá projekce
- izometrie
- ortogonální doplněk
- Gramova matice
- Cauchy-Schwarzova nerovnost
- trojúhelníková nerovnost
- věta o Fourierových koeficientech
- metoda nejmenších čtverců
- Gram-Schmidtova ortonormalizace
- věta o izometrii a normě
- věta o izometrii a vlastnostech její matice
- věta o ortogonálním doplňku
- věta o skalárním součinu dvou vektorů a Gramově matici
- skalární součin pro vektorové prostory nad komplexními čísly
- ortogonalita a kolmá projekce
- ortonormální báze
- ortogonální doplněk
- pozitivně definitní matice
- definice pozitivně definitní matice
- Choleského rozklad
- věta o třech ekvivalentních podmínkách pro pozitivně definitní matice
- věta o rekurentní podmínce pro pozitivně definitní matice
- věta o pozitivně definitních maticích a determinantech (Sylvesterova podmínka)
- výpočet Choleského rozkladu
- bilineární a kvadratické formy a jejich matice
- bilineární forma
- kvadratická forma
- matice bilineární formy vzhledem k bázi
- analytické vyjádření formy
- signatura formy
- věta o diagonalizovatelnosti matic forem
- polární báze
- Sylvesterův zákon setrvačnosti – o diagonalizaci kvadratických forem